Serie coseno de Madhava se afirma en versos 2.442 y 2.443 en Yukti-dipika comentario (Tantrasamgraha-vyakhya) por Sankara Variar. Una traducción de los versículos siguientes.
Multiplique la plaza del arco por la unidad (es decir, el radio) y tomar el resultado de repetir que (cualquier número de veces). Divida (cada uno de los numeradores más arriba) por el cuadrado de los números pares sucesivos disminuyó en ese número y multiplicado por el cuadrado del radio. Sin embargo, el primer término es (ahora) (la que es) dividido por dos veces el radio. Coloque los resultados sucesivos obtenidos de este modo uno debajo del otro y restar cada uno desde la anterior. Estas juntas dan el ara que se recogen juntos en el verso que comienza con stena, stri, etc
Sea r denota el radio del círculo y el s-longitud de arco.
Los siguientes numeradores se forman en primer lugar:
ss ^ 2,
ss ^ ^ 2 2.s
ss ^ ^ 2.s 2.s ^ 2
Estos se dividen por cantidades especificadas en el verso.
1) ss ^ 2 / (2 ^ 2-2) r ^ 2,
2) s. s ^ 2 / (2 ^ 2-2) r ^ 2. s ^ 2/4 ^ 2-4) r ^ 2
3) ss ^ 2 / (2 ^ 2-2) r ^ 2.s ^ 2 / (4 ^ 2-4) ^ r 2. s ^ 2 / (6 ^ 2-6) r ^ 2
De acuerdo con el versículo,
sara o versine = r. (1-2-3)
Sea x el ángulo subtendido por el arco s en el centro del círculo. Entonces s = rx y sara o versine = r (1-cos x)
Simplificando se obtiene la notación actual
1-cos x = x ^ 2/2! -X ^ 4/4!+ X ^ 6/6! ......
que da la serie infinita potencia de la función coseno.
La serie tangente inversa de Madhava se da en el versículo 2,206 2,209 en Yukti-dipika comentario (Tantrasamgraha-vyakhya) por Sankara Variar. También se da por Jyeshtadeva en Yuktibhasha y una traducción de los versos es la siguiente.
Ahora, con sólo el mismo argumento, la determinación del arco de un seno deseada puede ser (hecho). Esto es de la siguiente manera: El primer resultado es el producto de la sinusoidal deseada y el radio dividido por el coseno del arco. Cuando se ha hecho la plaza del seno el multiplicador y el cuadrado del coseno del divisor, ahora un grupo de resultados se determina a partir de los resultados (anterior) a partir de la primera. Cuando estos se dividen en orden por los números impares 1, 3, y así sucesivamente, y cuando se ha restado la suma de los (-numeradas) resultados incluso a partir de la suma de la impar (los), que debe ser el arco. Aquí, el más pequeño del seno y coseno se requiere para ser considerado como el deseado (sinusoidal). De lo contrario, no habría ninguna terminación de los resultados incluso si repetidamente (computarizada).
Representación de notaciones modernas
Sea s el arco deseado de la sinusoidal, bhujajya, y. Sea r el radio y x es el coseno (kotijya).
El primer resultado es año / x
Desde el divisor y multiplicador y ^ 2 / x ^ 2
Desde el grupo de resultados yr / xy ^ 2 / x ^ 2, año / x. y ^ 2 / x ^ 2.y ^ 2 / x ^ 2
Divide el orden del número 1,3, etc
1 yr/1x, 1y.r/3x y ^ 2 / x ^ 2, 1y.r/5x.y ^ 2 / x ^ 2.Y ^ 2/2 x ^
a = (suma de los resultados impares) 1 yr/1x + 1y.r/5x.y ^ 2 / x ^ 2.y ^ 2 / x ^ 2 + ......
b = (suma de los resultados de pares) 1y.r/3x.y ^ 2 / x ^ 2 + 1 yr/7x.y ^ 2 / x ^ 2.y ^ 2 / x ^. y ^ 2 / x ^ 2 + .....
El arco se da ahora por
s = a - b
Transformación de notación actual
Si x es el ángulo subtendido por el arco s en el centro del círculo, entonces s = rx y kotijya = r cos x y bhujajya = r sen x. Y sparshajya = tan x
Simplificando se obtiene
x = tan x - tan ^ 3x / '3 + tan ^ 5x / 5 - moreno ^ 7x / 7 + .....
Vamos tan x = z, tenemos
arctan (z) = z - z ^ 3/3 + z ^ 5/5 - z ^ 7/7
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